☆ Résoudre un système linéaire comportant un très grand nombre d'équations et d'inconnues

Résoudre un système linéaire, écrit sous forme matricielle  \(AX=B\) , comportant un très grand nombre d'équations et d'inconnues est très coûteux en puissance de calcul, même avec un ordinateur, vu le nombre de multiplications requises. En effet, pour une simple multiplication de deux matrices carrées de taille  \(n\) , il faut déjà  \(n^3\)  multiplications ( \(n\)  multiplications pour chacun des  \(n^2\)  coefficients à calculer).

Or, le besoin existe pour des problèmes d'ingénierie ou d'économie. On a donc recours à des techniques de décomposition de la matrice  \(A\) .

L'une des méthodes les plus simples est la décomposition  \(A=LU\) .
\(A\)  est exprimée sous forme du produit d'une matrice triangulaire inférieure  \(L\)  dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à  \(1\)  et d'un matrice triangulaire supérieure  \(U\) .
Le système s'exprime donc  \(LUX=B\) .
En posant  \(UX=Y\) , on a alors  \(LY=B\) .

La méthode consiste donc à résoudre d'abord  \(LY=B\)  qui est facile à résoudre puisque  \(L\)  est triangulaire. Ensuite, il reste à résoudre  \(UX=Y\) , qui est aussi facile à résoudre puisque  \(U\)  est triangulaire.

D'autres types de décompositions existent pour résoudre ce problème de la résolution de systèmes en grandes dimensions.